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By Dirk Ferus

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Ii) Sind die fi bez¨ uglich φi messbar, so ist f bez¨ uglich φ messbar. Beweis. Vgl. Hausaufgaben. 48 Korollar 71. Seien φ1 , φ2 und φ wie im Satz. Dann gilt (i) F¨ ur φi -integrierbare Mengen Ai ⊂ Rni ist A1 × A2 φ-integrierbar und φ(A1 × A2 ) = φ1 (A1 )φ2 (A2 ). (ii) F¨ ur φi -messbare Mengen Ai ⊂ Rni ist A1 × A2 φ-messbar. (iii) Ist N1 eine φ1 -Nullmenge, so ist N1 × Rn2 eine φ-Nullmenge. Beweis. Vgl. Hausaufgaben. Satz 72. Sei f : Rn → R eine nicht-negative integrierbare Funktion und G := (x1 , .

Die Funktion f : R2 → R mit f (x, y) := (x2 + y 2 )χ[0, 1]2 (x, y) ist stetig auf einem kompakten Intervall, also nach Beispiel 28 µ2 -integrierbar. Nach Fubini gilt f dµ2 = (x2 + y 2 )χ[0, 1](y)χ[0, 1](x)dµ1 dµ1 . f (x, y)dµ1 dµ1 = Die µ1 -Integrale sind aber nach Satz 29 dasselbe wie die entsprechenden Regelintegrale. Wir erhalten 1 1 0 1 1 (x2 + y 2 )dy dx = f dµ2 = 0 (yx2 + 0 y3 ) dx = 3 0 1 0 1 2 (x2 + )dx = . 3 3 Bemerkung. Oft ist es nicht so schwer, die Existenz eines oder beider iterierter Integrale ( f dφ1 )dφ2 und ( f dφ2 )dφ1 zu zeigen.

2. Schritt. Sei h1 ein beliebiger Automorphismus des Rn , h2 ein elementarer Automorphismus, A ⊂ Rn offen und beschr¨ ankt, und f¨ ur f = χA gelte f dµn = (f ◦ h1 )| det h1 |dµn . Dann gilt nach dem 1. Schritt f dµn = (f ◦ h1 )| det h1 |dµn = = | det h1 | χh−1 (A)| det h1 |dµn = | det h1 | 1 (χh−1 (A) ◦ h2 )| det h2 |dµn = 1 χh−1 (A)dµn 1 (f ◦ (h1 ◦ h2 ))| det(h1 ◦ h2 )|dµn . Weil aber jeder Automorphismus das endliche Produkt elementarer Automorphismen ist, erhalten wir mit den 1. Schritt: Ist f = χA f¨ ur ein offenes und beschr¨anktes A ⊂ Rn , so gilt n n f¨ ur jeden Automorphismus h : R → R f dµn = (f ◦ h)| det h | dµn .

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