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Le calcul intégral : Des nombres, en somme...

Sous le nom d'intégrale se cache une idée basic, belle et puissante, qui a mis plusieurs siècles pour arriver à maturité. remark calculer l'aire d'une area délimitée par une courbe?

Le génial Archimède découpe los angeles floor à mesurer en objets géométriques élémentaires, puis procède par encadrements successifs.
C'est le element de départ d'une théorie qui se précisera au fil des siècles. Newton et Leibniz s'emparent de l. a. query et leur petite guerre débouchera sur l. a. fondation du calcul intégral. Grâce à eux, l'analyse se met au provider de los angeles géométrie. l. a. computer est lancée et ne s'arrêtera plus. Le XIXe siècle sera celui de l'utilisation du calcul intégral dans toutes les branches de los angeles body et des progrès de l. a. théorie, notamment avec Riemann. Elle débouche aujourd'hui sur des extensions permanentes.

C'est cette histoire, accompagnée d'explications théoriques détaillées, que raconte cet ouvrage.

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Example text

On note H (z, C) := G' [l + q ( z , 0 ( z ~ 0 ] • Si 2 est un point intérieur au domaine borné U limité par le support de 7 et si / désigne une fonction holomorphe au voisinage de U , montrer, en appliquant la formule de Cauchy Pompeïu à la fonction C->/( 0 G[i + ï(*,C )(*- 0 ], que l’on a, pourvu que l’orientation de 7 soit telle qu’elle laisse le domaine U à main gauche, J /( 0 G [ 1 + q ( z , ( ) ( z C)]dc + J J " f ( Q H ( z , O d ( q(z,<;)Ad( f{z) = 2Ïïï 3. 0 ~ P {z) - P ( 0 * -C est une application polynomiale en deux variables de degré D — 1 ; on étendra cette application à G2 tout entier en un polynôme de deux variables.

Preuve, Considérons 0 < r < R ; dans le disque fermé D (z0, r), la fonction / est limite uniforme de la suite de polynômes Pn{z) = Y ^ ak(z ~ zo)k fc=0 en la variable complexe z. 2, pour tout n G N, pour tout z dans le disque ouvert {z G C ; \z — z0\ < r}, P n( C) Ç -z d f. Fixons maintenant 2 dans {z G C ; \z — zo\ < r}. Puisque la suite de fonctions C^ M 1 ( Q ~z neN) converge uniformément vers C^ /(0/(C - z ) sur le cercle de centre z0 et de rayon r et que P„(z) converge simplement vers f{z), nous avons f ( z) = — lim 2 î 7T n -* °° /( O dç.

7) converge. 1 Notons Vindécision totale qui pèse sur le comportement (convergence? 7) aux points du cercle centré en Vorigine et de rayon R, lorsque R désigne le rayon de convergence ; nous y reviendrons ultérieurement. Le calcul du rayon de convergence d’une série entière se fait suivant la règle bien connue de Cauchv-Hadamard. 1 Le rayon de convergence R de la série entière En>o anX n est donné par la formule R : = ------- ------ r . 8) 7l -» + 0 0 Preuve. Nous la rappelons brièvement ici, surtout pour profiter de l’occasion qui nous est donnée de rappeler la définition de la limite supérieure d’une suite de réels (un)n>o- On rappelle que la limite supérieure de la suite (un)n est par définition la plus grande valeur d’adhérence (dans la droite numérique achevée à droite que constitue R U {+oo}) de la suite (un)n>o, soit encore lim sup un = lim sup Uk ■ n-»oo n-¥oo k>n La définition de la limite inférieure est en tout point analogue ; c’est la plus petite valeur d’adhérence de la suite dans la droite numérique achevée cette fois à gauche R U { - 00 } et l’on a lim inf un = lim inf Uk G R U {—00 } .

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